வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஹில்பெர்ட்டின் 10 வது பிரச்சினை தீர்மானிக்க முடியாதது.
கணிதவியலாளர்கள் பிரச்சினையின் நீட்டிக்கப்பட்ட, மோதிரங்கள்-உள்ளிட்ட பதிப்பை நிரூபிக்க அதே அணுகுமுறையைப் பின்பற்றுவார்கள் என்று நம்பினர்-ஆனால் அவர்கள் ஒரு கஷ்டத்தைத் தாக்கினர்.
படைப்புகளைத் தூண்டுகிறது
சமன்பாடுகள் முழு எண் அல்லாத தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்க அனுமதிக்கும்போது டூரிங் இயந்திரங்களுக்கும் டையோபண்டைன் சமன்பாடுகளுக்கும் இடையிலான பயனுள்ள கடிதங்கள் வீழ்ச்சியடைகின்றன. உதாரணமாக, சமன்பாட்டை மீண்டும் கவனியுங்கள் y = x2. நீங்கள் √2 ஐ உள்ளடக்கிய முழு எண்களின் வளையத்தில் பணிபுரிகிறீர்கள் என்றால், நீங்கள் போன்ற சில புதிய தீர்வுகளுடன் முடிவடையும் x = √2, y = 2. சமன்பாடு இனி சரியான சதுரங்களைக் கணக்கிடும் ஒரு டூரிங் இயந்திரத்துடன் ஒத்துப்போகாது – மேலும், பொதுவாக, டியோபண்டைன் சமன்பாடுகள் இனி நிறுத்தும் சிக்கலை குறியாக்க முடியாது.
ஆனால் 1988 ஆம் ஆண்டில், நியூயார்க் பல்கலைக்கழகத்தில் பட்டதாரி மாணவர் சாஷா ஷ்லாபென்டோக் இந்த சிக்கலை எவ்வாறு சுற்றி வருவது என்பதற்கான யோசனைகளுடன் விளையாடத் தொடங்கினார். 2000 வாக்கில், அவளும் மற்றவர்களும் ஒரு திட்டத்தை வகுத்திருந்தனர். போன்ற ஒரு சமன்பாட்டில் கூடுதல் சொற்களைச் சேர்க்க வேண்டும் என்று சொல்லுங்கள் y = x2 அது மாயமாக கட்டாயப்படுத்தப்பட்டது x வேறு எண் அமைப்பில் கூட, மீண்டும் ஒரு முழு எண்ணாக இருக்க வேண்டும். பின்னர் நீங்கள் ஒரு டூரிங் இயந்திரத்திற்கு கடிதத்தை காப்பாற்றலாம். அனைத்து டியோபண்டைன் சமன்பாடுகளுக்கும் இதைச் செய்ய முடியுமா? அப்படியானால், ஹில்பெர்ட்டின் சிக்கல் புதிய எண் அமைப்பில் நிறுத்தும் சிக்கலை குறியாக்கக்கூடும் என்று அர்த்தம்.
விளக்கம்: மைரியம் பொருட்கள் எவ்வளவு பத்திரிகை
பல ஆண்டுகளாக, ஷ்லாபென்டோக் மற்றும் பிற கணிதவியலாளர்கள் பல்வேறு வகையான மோதிரங்களுக்கான டையோபண்டைன் சமன்பாடுகளில் என்னென்ன விதிமுறைகளைச் சேர்க்க வேண்டும் என்பதைக் கண்டுபிடித்தனர், இது அந்த அமைப்புகளில் ஹில்பெர்ட்டின் பிரச்சினை இன்னும் ஏற்றுக்கொள்ள முடியாதது என்பதை நிரூபிக்க அனுமதித்தது. பின்னர் அவர்கள் ஒரு வழக்குக்கு முழு முழு எஞ்சிய வளையங்களையும் வேகவைத்தனர்: கற்பனை எண்ணை உள்ளடக்கிய மோதிரங்கள் i. இந்த விஷயத்தில், அவர்கள் சேர்க்க வேண்டிய விதிமுறைகளை நீள்வட்ட வளைவு எனப்படும் சிறப்பு சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிக்க முடியும் என்பதை கணிதவியலாளர்கள் உணர்ந்தனர்.
ஆனால் நீள்வட்ட வளைவு இரண்டு பண்புகளை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும். முதலில், அதற்கு எண்ணற்ற பல தீர்வுகள் இருக்க வேண்டும். இரண்டாவதாக, நீங்கள் உங்கள் எண் அமைப்பிலிருந்து கற்பனை எண்ணை அகற்றியிருந்தால், நீள்வட்ட வளைவுக்கான அனைத்து தீர்வுகளும் அதே அடிப்படை கட்டமைப்பை பராமரிக்க வேண்டும்.
அது முடிந்தவுடன், மீதமுள்ள ஒவ்வொரு வளையத்திற்கும் வேலை செய்யும் அத்தகைய நீள்வட்ட வளைவை உருவாக்குவது மிகவும் நுட்பமான மற்றும் கடினமான பணியாகும். ஆனால் கோயிமன்ஸ் மற்றும் பகானோ – அவர்கள் பட்டதாரி பள்ளியில் இருந்ததிலிருந்து நெருக்கமாக பணியாற்றிய நீள்வட்ட வளைவுகளை வென்றெடுப்பார்கள் -சரியான கருவி முயற்சிக்க வேண்டும்.
தூக்கமில்லாத இரவுகள்
இளங்கலை பட்டதாரியாக இருந்த காலத்திலிருந்தே, கோயிமன்ஸ் ஹில்பெர்ட்டின் 10 வது பிரச்சினை பற்றி யோசித்துக்கொண்டிருந்தார். பட்டதாரி பள்ளி முழுவதும், மற்றும் பகானோவுடனான அவரது ஒத்துழைப்பு முழுவதும், அது அழைத்தது. “நான் ஒவ்வொரு ஆண்டும் சில நாட்கள் அதைப் பற்றி யோசித்து பயங்கரமாக சிக்கிக்கொண்டேன்,” என்று கோயிமன்ஸ் கூறினார். “நான் மூன்று விஷயங்களை முயற்சிக்கிறேன், அவை அனைத்தும் என் முகத்தில் வெடிக்கும்.”
2022 ஆம் ஆண்டில், கனடாவின் பான்ஃப் நகரில் நடந்த ஒரு மாநாட்டில், அவரும் பகானோவும் பிரச்சினையைப் பற்றி அரட்டையடித்தனர். ஒன்றாக, அவர்கள் சிக்கலைத் தீர்க்க தேவையான சிறப்பு நீள்வட்ட வளைவை உருவாக்க முடியும் என்று அவர்கள் நம்பினர். வேறு சில திட்டங்களை முடித்த பிறகு, அவர்கள் வேலைக்கு வந்தனர்.
